柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
定义
指形如akbk2≤a2kb2k的不等式，其中ak，bk(k=1，2，…，n)为实数，等号当且仅当ak，bk(k=1，2，…，n)成比例，即时成立.它是最常用的不等式之一，由柯西(Cauchy，A.-L.)于1821年发表。[1]
推导过程
柯西不等式拥有多种形式，下面是其几种形式。
二维形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，等号成立条件:ad=bc
三角形式:，等号成立条件:ad=bc
向量形式:|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…，bn)(n∈N，n≥2)，等号成立条件:β为零向量，或α=βλ(λ∈R).
一般形式:等号成立条件:a1:b1=a2:b2=an:bn或ai、bi均为零.
推广形式:(x1-y1-…)(x2-y2-…)…(xn-yn-…)
直接法
设
则
所以，即
利用二次型
即关于x，y的二次型非负定，那么
即
数学归纳法
当n=1时，a12b12≥(a1b1)2不等式显然成立
设
当n=k+1时
而
即n=k+1时，不等式成立[2]
定理推广
若函数f(z)在区域D及其边界上解析，a为D内一点，以a为圆心做圆周CR:|z-a|=R，只要CR及其内部G均被D包含，则有：
其中M是|f(z)|的最大值。
所以：
应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。正柯西不等式是高中数学中新引人的一个重要不等式，它的出现使得函数的最值问题又多了一条解决途径。[3]
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明：如果了解柯西不等式，那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
=>2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证：设2x=a+b，2y=b+c，2z=c+a，则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
=>(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
=>y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
=>(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因为y/x+x/y>2，z/x+x/z>2，y/z+z/y>2.所以上式显然成立.
求某些函数最值
例：求函数的最大值。
函数的定义域为[5，9]，y>0
函数仅在，即x=6.44时取到。
柯西简介
柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子相反。
据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为力学奠定了严格的理论基础。
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